Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），AB=4,與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)(2,3)．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D,連接CD、CB,問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PBC+∠BDC=90°. 若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)K拋物線上C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、K、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

（1）        ．
（2）存在,可證明DC⊥BC,由∠PBC+∠BDC=90°,知找一點(diǎn)P,使得∠PBC=∠DBC,故知P有兩個(gè)位置:(1,4)和
（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是

解析（1）拋物線的對(duì)稱軸：x=﹣=﹣=1，且AB=4，則 A（﹣1，0）、B（3，0）；
再代入點(diǎn)（2，3）后，可得：
，解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式：y=﹣x²+2x+3．
（2）由（1）知：y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，則 D（1，4）；
BC²=18、CD²=2、BD²=20，∴BC²+CD²=BD²，即△BCD是直角三角形，且DC⊥BC．
∴∠BDC+∠DBC=90°，即點(diǎn)D符合點(diǎn)P的要求，P₁（1，4）．
延長(zhǎng)DC至E，使得DC=CE，則△BDE是等腰三角形，且∠DBC=∠EBC，則直線BE與拋物線的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P的要求（B點(diǎn)除外）
通過(guò)圖示，不難看出點(diǎn)D、E關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，則 E（﹣1，2），設(shè)直線BE：y=kx+b，則有：
，解得
∴直線BE：y=﹣x+，聯(lián)立拋物線的解析式后，得：
，解得（舍）、
∴P₂（﹣，）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（1，4）、（﹣，）．
（3）易知點(diǎn)K（2，3）；
由題意，A、F都在x軸上，根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)不難看出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為3或﹣3；
當(dāng)y_G=3時(shí)，﹣x²+2x+3=3，解得 x=0或2，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1﹣2，0）或（﹣1+2，0），即（﹣3，0）、（1，0）；
當(dāng)y_G=﹣3時(shí)，﹣x²+2x+3=﹣3，解得 x=1±，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，0）或（1﹣，0），
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+，0）、（4﹣，0）；
綜上，有四個(gè)符合條件的點(diǎn)F，且坐標(biāo)為（﹣3，0）、（1，0）、（4+，0）、（4﹣，0）．