Question

（2013•德慶縣一模）如果方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的兩個(gè)根是x₁，x₂，
（1）求證：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q；
（2）已知關(guān)于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0）求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；
（3）已知a，b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值．

Answer 1

分析：（1）利用求根公式求得原方程的兩根，然后求其和與積；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程x²+mx+n=0的兩根為x₁、x₂，則有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m．且由已知所求方程的兩根為

1

x1

、

1

x2

．則根據(jù)韋達(dá)定理推知

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-m

n

．

1

x1

•

1

x2

=

1

x1•x2

=

1

n

，由此易求得一元二次方程；
（3）根據(jù)題意知a，b是方程x²-15x-5=0的兩根．所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得a+b=15，ab=-5，則

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(a+b)2

ab

-2=

152

-5

-2=-47．

解答：解：（1）證法1：∵x²+px+q=0，
∴x1=

p2-4q -p

2

，x2=

- p2-4q -p

2

．
∴x1+x2=

p2-4q -p

2

+

- p2-4q -p

2

=-p，
∴x1x2=

p2-4q -p

2

×

- p2-4q -p

2

=q．
證法2：∵x²+px+q=0的兩根為x₁，x₂．
∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q，
即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q．
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．

（2）設(shè)關(guān)于x的方程x²+mx+n=0的兩根為x₁、x₂，則有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=n，且由已知所求方程的兩根為

1

x1

、

1

x2

．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-m

n

．

1

x1

•

1

x2

=

1

x1•x2

=

1

n

，
∴所求方程為x²-

-m

n

x+

1

n

=0，即nx²+mx+1=0（n≠0）；

（3）∵a，b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是方程x²-15x-5=0的兩根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(a+b)2

ab

-2=

152

-5

-2=-47．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．