Question

23、（1）李剛同學在計算12²和89²時，借助計算器探究“兩位數(shù)的平方”有否簡捷的計算方法．他經(jīng)過探索并用計算器驗證，再用數(shù)學知識解釋，得出“兩位數(shù)的平方”可用“豎式計算法”進行計算，
如：12²=144．其中第一行的“01”和“04”分別是十位數(shù)和個位數(shù)的平方，各占兩個位置，其結果不夠兩位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它們并排排列；第二行的“04”為十位數(shù)與個位數(shù)積的2倍，占兩個位置，其結果不夠兩位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它們按上面的豎式相加就得到了12²=144，
再如89²=7921．其中第一行的“64”和“81”分別是十位數(shù)和個位數(shù)的平方，各占兩個位置，再把它們并排排列；第二行的“144”為十位數(shù)與個位數(shù)積的2倍，再把它們按上面的豎式相加就得到了89²=7921．
①請你用上述方法計算75²和68²（寫出“豎式計算”過程）；
②請你用數(shù)學知識解釋這種“兩位數(shù)平方的豎式計算法”合理性．
（2）閱讀以下內容：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
①根據(jù)上面的規(guī)律，得（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=

xⁿ-l

（n為正整數(shù)）；
②根據(jù)這一規(guī)律，計算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹=

2²⁰¹⁰-l

（ n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）可直接用豎式得出結果．
（2）規(guī)律很好找，就是將括號前后的第一個底數(shù)的指數(shù)相加，然后再減1就可以了．但第二個計算就不好找規(guī)律，仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)，底數(shù)是2，也就是說原式可以看作（2-1）（2^2010-1+2^2010-2+2^2010-3+…+2²+2¹+1）就可以利用規(guī)律進行計算了．

解答：解：（1）①75²=5625

68²=4624

②設十位數(shù)（字）為a，個位數(shù)（字）為b，則這個兩位數(shù)為（10a+b），
則（10a+b）²=100a²+b²+2×lOab．

（2）①xⁿ-l
②原式=（2-1）（2^2010-1+2^2010-2+2^2010-3+…+2²+2¹+1）=2²⁰¹⁰-l．

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．