Question

某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500，
（1）設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？
（3）根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本=進價×銷售量）

Answer 1

解：（1）由題意得出：
W=（x-20）y=（x-20）（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
x=-=35，
答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤．

（2）由題意，得：-10x²+700x-10000=2000，
解這個方程得：x₁=30，x₂=40．
答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元．

（3）∵a=-10＜0，
∴拋物線開口向下，
∴當30≤x≤40時，W≥2000，
∵x≤32，
∴當30≤x≤32時，W≥2000，
設(shè)成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000
∵k=-200＜0，
∴P隨x的增大而減�。�
∴當x=32時，P_最小=3600．
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．
分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，根據(jù)利潤=（定價-進價）×銷售量，從而列出關(guān)系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；
（3）根據(jù)函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最低成本即可．
點評：此題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題是解題關(guān)鍵．