Question

某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計(jì)）這些薄板的形狀均為正方形，邊長(zhǎng)（單位：cm）在5~50之間，每張薄板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：cm²）成正比例，每張薄板的出廠價(jià)（單位：元）由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無(wú)關(guān)，是固定不變的，浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長(zhǎng)成正比例，在營(yíng)銷過(guò)程中得到了表格中的數(shù)據(jù)，

薄板的邊長(zhǎng)（cm）	20	30
出廠價(jià)（元/張）	50	70

⑴求一張薄板的出廠價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
⑵已知出廠一張邊長(zhǎng)為40cm的薄板，獲得利潤(rùn)是26元（利潤(rùn)=出廠價(jià)－成本價(jià)）．
①求一張薄板的利潤(rùn)與邊長(zhǎng)這之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)邊長(zhǎng)為多少時(shí)，出廠一張薄板獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

(1) y="2x+10" ; (2) P＝－x²＋2x＋10 ,邊長(zhǎng)為25cm時(shí)，最大利潤(rùn)為35元.

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①首先假設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為p元，它的成本價(jià)為mx²元，由題意，得：p=y-mx²，進(jìn)而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
②利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可．
試題解析：⑴設(shè)一張薄板的邊長(zhǎng)為x cm，它的出廠價(jià)為y元，基礎(chǔ)價(jià)為n元，浮動(dòng)價(jià)為kx元，
則y=kx+n
由表格中數(shù)據(jù)得   解得
∴y=2x+10
⑵①設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為P元，它的成本價(jià)為mx²元，由題意得P=ｙ－ｍｘ²＝2x+10－mx²
將x=40，P=26代入P=2x+10－mx²中，得26=2×40＋10－m×40² 解得m=
∴P＝－x²＋2x＋10  （3分）
②∵a＝－＜0 ∴當(dāng)（在5~50之間）時(shí)，

即出廠一張邊長(zhǎng)為25cm的薄板，所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為35元
考點(diǎn): 二次函數(shù)的應(yīng)用.