Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G．求證：∠GAC=∠EAC．

Answer 1

分析：連接BD交AC于H，過點(diǎn)C作AB的平行線交AG的延長線于I，過點(diǎn)C作AD的平行線交AE的延長線于J．由塞瓦定理，可得

CG

GB

•

BH

HD

•

DE

EC

=1，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得

BH

HD

=

AB

AD

．從而可證明CI∥AB，CJ∥AD，則

CG

GB

=

CI

AB

，

DE

EC

=

AD

CJ

．
可證明△ACI≌△ACJ，則∠IAC=∠JAC，從而可得出∠GAC=∠EAC．

解答：證明：如圖，連接BD交AC于H，
過點(diǎn)C作AB的平行線交AG的延長線于I，過點(diǎn)C作AD的平行線交AE的延長線于J．
對△BCD用塞瓦定理，可得

CG

GB

•

BH

HD

•

DE

EC

=1①
因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線，
由角平分線定理知

BH

HD

=

AB

AD

．
代入①式得

CG

GB

•

AB

AD

•

DE

EC

=1②
因?yàn)镃I∥AB，CJ∥AD，則

CG

GB

=

CI

AB

，

DE

EC

=

AD

CJ

．
代入②式得

CI

AB

•

AB

AD

•

AD

CJ

=1．
從而CI=CJ．又由于
∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．

點(diǎn)評：本題是一道難度較大的競賽題，考查了梅捏勞斯定理和賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．