Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥DC，對角線AC⊥CB，若AD=2，AC=，cosB=．試求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】分析：在Rt△ADC中，利用勾股定理求得DC=4；在Rt△ACB中，利用余弦三角函數(shù)的定義求得BC：AB=5：3，由此設BC=3x，AB=5x，所以根據(jù)勾股定理列出關于x的方程，通過解方程即可求得x的值，即BC、AB的值；最后根據(jù)四邊形的周長公式來求四邊形ABCD的周長．
解答：解：在四邊形ABCD中，
∵AD⊥DC，對角線AC⊥CB，
∴∠ACB=∠D=90°．
∴△ADC和△ACB都是直角三角形．
在Rt△ADC中，∵AD=2，AC=，
∴由勾股定理，得
DC=4．
在Rt△ACB中，∵=cosB=，
∴設BC=3x，AB=5x．
∴由勾股定理 得AB²-BC²=AC²，即25x²-9x²=20．
解得x=，或x=-（不合題意，舍去），
∴BC=3x=，AB=2x=．
∴四邊形ABCD周長為：AB+BC+CD+DA=4+6．
點評：本題綜合考查了勾股定理的應用、解直角三角形．解答此題需要熟悉三角函數(shù)的定義．