(1999•天津)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(2,4),頂點的橫坐標為,它的圖象與x軸交于兩點B(x1,0)、C(x2,0),與y軸交于點D,且x12+x22=13.試問:y軸上是否存在點P,使得△POB與△DOC相似(O為坐標原點)?若存在,請求出過P、B兩點直線的解析式;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:需注意的是,由于本題沒有明確B、C的位置關系,所以要分類討論;由于B、C是拋物線與x軸的交點;根據(jù)韋達定理即可求出兩個橫坐標的和與積,進而可根據(jù)x12+x22=13求出第一個關于拋物線系數(shù)的等量關系式;將A點坐標代入拋物線的解析式中,可得到第二個關于拋物線系數(shù)的等量關系式;再聯(lián)立拋物線的對稱軸方程,即可求出待定系數(shù)的值,由此可確定拋物線的解析式,進而可求出拋物線與坐標軸的交點坐標;假設拋物線上存在符合條件的P點,使得△POB與△DOC相似,由于這兩個三角形中,∠POB=∠DOC=90°,所以要考慮到兩種情況:①△POB∽△DOC,②△POB∽△COD;根據(jù)不同的相似三角形所得到的不同比例線段,可求出P點的坐標,進而可用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式.
解答:解:∵y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點B(x1,0),C(x2,0),
∴x1+x2=-,x1x2=;
又∵x12+x22=13,即(x1+x22-2x1x2=13,
∴(-2-2•=13,①
4a+2b+c=4,②
-=.③
解由①、②、③組成的方程組,
得a=-1,b=1,c=6;
∴y=-x2+x+6;(2分)
與x軸交點坐標為(-2,0),(3,0),(3分)
與y軸交點D坐標為(0,6);(4分)
設y軸上存在點P,使得△POB∽△DOC,則
(1)當B(-2,0),C(3,0),D(0,6)時,
,OB=2,OC=3,OD=6;
∴OP=4;即點P坐標為(0,4)或(0,-4);
當P坐標為(0,4)時,可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx+4,
有0=2k+4,得k=2;
∴y=2x+4;(4.5分)
當P點坐標為(0,-4)時,可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx-4;
有0=-2k-4,
得k=-2;
∴y=-2x-4(5分)
,OB=2,OD=6,OC=3
∴OP=1,這時P點坐標為(0,1)或(0,-1);
當P點坐標為(0,1)時,可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx+1;
有0=-2k+1,
得k=
∴y=x+1(5.5分)
當P點坐標為(0,-1)時,可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx-1;
有0=-2k-1,
得k=-;(6分)
∴y=-x-1;
(2)當B(3,0),C(-2,0),D(0,6)時,同理可得
y=-3x+9(6.5分)
或y=3x-9(7分)
或y=-x+1(7.5)
或y=x-1.(8分)
點評:此題主要考查了根與系數(shù)的關系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質等重要知識點,要注意的是在遇到相似三角形的對應邊和對應角不明確的情況下,一定要分類討論,以免漏解.
練習冊系列答案
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