Question

如圖，BD是△ABC的平分線，且AD=BD，CE⊥BD于E，求證：AC=2BE．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長CE交AB于F，過點E作EG∥AC交AB于G，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=EF，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ABD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠A=∠EGB，從而得到∠EGB=∠ABD，根據(jù)等角對等邊可得BE=EG，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AC=2EG，然后等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，延長CE交AB于F，過點E作EG∥AC交AB于G，
∵BD是△ABC的平分線，CE⊥BD，
∴CE=EF，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵EG∥AC，
∴∠A=∠EGB，
∴∠EGB=∠ABD，
∴BE=EG，
∵CE=EF，EG∥AC，
∴EG是△ACF的中位線，
∴AC=2EG，
∴AC=2BE．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半等腰三角形三線合一的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和以BE的長度相等的線段為中位線的三角形．