Question

矩形ABCD紙片的邊AB長為2cm，動直線l分別交AD、BC于E、F兩點，且EF∥AB；
（1）若直線l是矩形ABCD的對稱軸，且沿著直線l剪開后得的矩形EFCD與原矩形ABCD相似，試求AD的長？
（2）若使AD=

5

+1cm，試探究：在AD邊上是否存在點E，使剪刀沿著直線l剪開后，所得到的小矩形紙片中存在與原矩形ABCD相似的情況．若存在，請求出AE的值，并判斷E點在邊AD上位置的特殊性；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)矩形EFCD∽矩形CBAD可得出兩矩形的對應(yīng)邊成比例，再AD=2CF=2x，把CD、AB的值代入關(guān)系式即可得出x的值，進而可求出AD的值；
（2）假設(shè)存在矩形EFCD與矩形ABCD相似，則DC必與AD對應(yīng)，ED必與DC對應(yīng)，由相似多邊形的對應(yīng)邊成比例即可得出ED的長，進而可得出AE的長，進而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴

AD

CD

=

AB

CF

，（2分）
又∵CD=AB=2，可設(shè)AD=2CF=2x，
∴

2x

2

=

2

x

，（2分）
則：x=

2

，
故：AD=2

2

．（1分）

（2）假設(shè)存在矩形EFCD與矩形ABCD相似；
則DC必與AD對應(yīng)，ED必與DC對應(yīng)，
有：

DC

AD

=

ED

DC

，
∴DC²=AD•ED，（1分）
又∵DC=2cm，AD=

5

+1cm，
∴ED=

DC2

AD

=

4

5 +1

=

5

-1（cm）                                            
∴AE=AD-（

5

-1）=2，（2分）
而AE=2＞

5

-1=ED，
依據(jù)對稱性考慮，必定存在當(dāng)AE=

5

-1時，使矩形EFBA與矩形ABCD相似的情形，
綜上述：當(dāng)AE=

5

-1或2時，在剪開所得到的小矩形紙片中必存在與原矩形相似；
且該兩種情形中，E剛好是邊AD的兩個黃金分割點．

點評：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即相似多邊形的對應(yīng)邊成比例．