Question

（本小題滿分12分）如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標原點和軸上另一點，頂點的坐標為；矩形的頂點與點重合，分別在軸、軸上，且，．
（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關系式；
（2）將矩形以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿軸的正方向勻速平行移動，同時一動點也以相同的速度從點出發(fā)向勻速移動．設它們運動的時間為秒（），直線與該拋物線的交點為（如圖2所示）．
①當時，判斷點是否在直線上，并說明理由；
②設以為頂點的多邊形面積為，試問是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因所求拋物線的頂點的坐標為（2，4），
故可設其關系式為．
又拋物線經(jīng)過，于是得，
解得．
∴所求函數(shù)關系式為，即．
（2）①點不在直線上．
根據(jù)拋物線的對稱性可知點的坐標為（4，0），
又的坐標為（2，4），設直線的關系式為．
于是得，解得．
所以直線的關系式為．
由已知條件易得，當時，，∴．
∵點的坐標不滿足直線的關系式，
∴當時，點不在直線上．
②存在最大值．理由如下：
∵點在軸的非負半軸上，且在拋物線上，
∴，
∴點的坐標分別為、，
∴（），
∴，
∴．
（i）當，即或時，以點為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為，∴．
（ii）當時，以點為頂點的多邊形是四邊形，
∵，
∴，
其中（），由，，此時．
綜上所述，當時，以點為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為．
說明：（ii）中的關系式，當和時也適合．

解析