【題目】如圖,拋物線y=ax2 x﹣2(a≠0)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).

(1)求拋物線的解析式;
(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn),求△MBC的面積的最大值,并求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】
(1)

方法一:解:將B(4,0)代入拋物線的解析式中,得:

0=16a﹣ ×4﹣2,即:a= ;

∴拋物線的解析式為:y= x2 x﹣2


(2)

方法一:解:由(1)的函數(shù)解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);

∴OA=1,OC=2,OB=4,

即:OC2=OAOB,又:OC⊥AB,

∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,

∴△ABC為直角三角形,AB為△ABC外接圓的直徑;

所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn),且坐標(biāo)為:( ,0)

方法二:

解:∵y= (x﹣4)(x+1),

∴A(﹣1,0),B(4,0).C(0,﹣2),

∴KAC= =﹣2,KBC= = ,

∴KAC×KBC=﹣1,∴AC⊥BC,

∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,△ABC的外接圓的圓心是AB的中點(diǎn),△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)為( ,0)


(3)

方法一:解:已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直線BC的解析式為:y= x﹣2;

設(shè)直線l∥BC,

則該直線的解析式可表示為:y=x+b,當(dāng) 直線l與拋物線只有一個交點(diǎn)時,可列方程:

x+b= x2 x﹣2,即: x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;

∴4﹣4× (﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;

∴直線l:y= x﹣4.

所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn),有:

,

解得:

即 M(2,﹣3).

過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N,

SBMC=S梯形OCMN+SMNB﹣SOCB= ×2×(2+3)+ ×2×3﹣ ×2×4=4

方法二:

解:過點(diǎn)M作x軸的垂線交BC′于H,

∵B(4,0),C(0,﹣2),

∴l(xiāng)BC:y= x﹣2,

設(shè)H(t, t﹣2),M(t, t2 t﹣2),

∴SMBC= ×(HY﹣MY)(BX﹣CX)= ×( t﹣2﹣ t2+ t+2)(4﹣0)=﹣t2+4t,

∴當(dāng)t=2時,S有最大值4,

∴M(2,﹣3).


【解析】方法一:(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù),只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可.(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo),然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置,由此確定圓心坐標(biāo).(3)△MBC的面積可由SMBC= BC×h表示,若要它的面積最大,需要使h取最大值,即點(diǎn)M到直線BC的距離最大,若設(shè)一條平行于BC的直線,那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時,該交點(diǎn)就是點(diǎn)M.
方法二:(1)略.(2)通過求出A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo),利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC,從而求出圓心坐標(biāo).(3)利用三角形面積公式,過M點(diǎn)作x軸垂線,水平底與鉛垂高乘積的一半,得出△MBC的面積函數(shù),從而求出M點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和三角形的面積的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點(diǎn).;三角形的面積=1/2×底×高才能正確解答此題.

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