Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，ED⊥AD于D，DE的延長線交BC于F，∠EBC=∠EDC，∠ECB=45°．
（1）求證：BE=CD；
（2）若DC=4，∠DCB=60°，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，ED⊥AD于D，
∴∠DFC=∠BFE=90°，而∠ECB=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=FC，而∠EBC=∠EDC，
∴△BEF≌△DCF，
∴BE=CD．

（2）解：在Rt△DCB中，DC=4，∠DCB=60°，
∴CF=2，DF=2，
而據(jù)（1）得EF=CF
∴DE=2-2．
分析：（1）此題利用梯形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可以證明△BEF≌△DCF，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題；
（2）在Rt△DCB中利用已知條件解直角三角形可以得到CF，DE的長，然后利用（1）的結(jié)論可以求出DE的長．
點(diǎn)評：此題主要考查了梯形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性．