Question

如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．
（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；
（2）請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；
（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

（1）∵M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，
∴ME是PC的中位線，NE是PD的中位線，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）當AP=5時，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，

AP=BP AD=BC

，
∴△PAD≌△PBC，
∴PD=PC，
∵M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，
∴NE=PM=

1

2

PD，ME=PN=

1

2

PC，
∴PM=ME=EN=PN，
∴四邊形PMEN是菱形；

（3）四邊形PMEN可能是矩形．
若四邊形PMEN是矩形，則∠DPC=90°
設(shè)PA=x，PB=10-x，
DP=

16+x2

，CP=

16+(10-x)2

．
DP²+CP²=DC²
16+x²+16+（10-x）²=10²
x²-10x+16=0
x=2或x=8．
故當AP=2或AP=8時，四邊形PMEN是矩形．