Question

如圖：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．
（1）當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)是△ABC周長(zhǎng)的一半時(shí)，求CP的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)．
（3）試問：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若存在，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴CP：CA=C_△CPQ：C_△CAB，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴C_△CAB=12，
∵△PQC的周長(zhǎng)是△ABC周長(zhǎng)的一半，
∴CP：4=1：2，
∴CP=2，

（2）∵△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等，
∴CQ+CP=AP+BQ+AB①，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AP+PC=4，CQ+BQ=3②，
∴把②變形代入①得，PC+CQ=6，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴PC：AC=CQ：BC，
∵AC=4，BC=3，
∴，
∴，
∴PC=，

（3）存在，理由為：
（i）作PM垂直PQ交AB于點(diǎn)M，作CE⊥AB，
∵PQ∥AB，
∴CE⊥PQ于點(diǎn)D，
∴PM=DE，
若PQ=PM，則：△PQM為等腰直角三角形，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CA⊥CB，
設(shè)：PQ=PM=x，
∵CE×AB=AC×BC，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CE=，
∵CD：CE=PQ：AB，
（-x）：=x：5，
∴x=，
∴當(dāng)PQ=時(shí)，AB上存在一點(diǎn)M使得△PQM為等腰直角三角形．

（ii）取PQ的中點(diǎn)N，作NM⊥AB于M，作CF⊥AB于F，交PQ于E，
則EF=MN，
則PM=QM，當(dāng)MN=時(shí)，△PQM為等腰直角三角形．
由△CPQ∽△CAB知，
=，AB×（CF-）=CF×PQ，
5×（-）=×PQ，
PQ=，
綜上，PQ=或時(shí)，AB上存在一點(diǎn)M使得△PQM為等腰直角三角形．
分析：（1）根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)等于相似比，即可推出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意即可推出PC+CQ=6，通過求證△CPQ∽△CAB，推出，最后經(jīng)過等量代換即可推出結(jié)論；
（3）通過作PM垂直PQ交AB于點(diǎn)M，作CE⊥AB，根據(jù)已知推出CE=，然后，提出假設(shè)PQ=PM=x，通過求證CE•AB=AC•BC和CD：CE=PQ：AB，即可推出x的值，說明假設(shè)成立，x的值即為PQ的長(zhǎng)度，再取PQ的中點(diǎn)N，作NM垂直AB于M，則PM=QM，當(dāng)MN=時(shí)，△PQM為等腰直角三角形．由△CPQ∽△CAB得出PQ的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查勾股定理逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定，關(guān)鍵在于根據(jù)已知和已證推出相似三角形，根據(jù)相似比推出結(jié)論即可．