Question

已知甲、乙、丙3種食物的維生素含量和成本如下表：

	甲種食物	乙種食物	丙種食物
維生素A（單位/kg）	300	600	300
維生素B（單位/kg）	700	100	300
成本（元/kg）	6	4	3

某食品公司欲用這3種食物混合研制100千克食品，要求研制成的食品中至少含36000單位的維生素A和40000單位的維生素B．
（1）研制這100千克食品，至少要用甲種食物多少千克？丙種食物至多能用多少千克？
（2）若限定甲種食物用50千克，則研制這100千克食品的總成本S的取值范圍是多少？

Answer 1

（1）設研制100千克食品用甲種、乙種和丙種食物各x千克，y千克和z千克，
由題意，得

x+y+z=100 300x+600y+300z≥36000 700x+100y+300z≥40000

，
即

x+y+z=100① x+2y+z≥120② 7x+y+3z≥400③

，
由①z=100-x-y，代入②③，得

y≥20 2x-y≥50

，
∴2x≥y+50≥70，x≥35，
將①變形為y=100-x-z，代入②，得
z≤80-x≤80-35=45，
答：即至少要用甲種食物35千克，丙種食物至多能用45千克．

（2）研制100千克食品的總成本S=6x+4y+3z，
將z=100-x-y代入，得S=3x+y+300．
當x=50時，S=y+450，
20≤y≤50．
∴470≤S≤500．
答：則研制這100千克食品的總成本S的取值范圍是470≤S≤500．