Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC是弦，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，交BC于F．已知AC=6，⊙O的半徑是5．
（1）求證：BC=2DE；
（2）求tan∠CBD的值．

Answer 1

解：（1）方法一：連接OD交BC于點(diǎn)H，
∵D是的中點(diǎn)，
∴∠CBD=∠ABC，
在△OBH與△ODE中，
，
∴△OBH≌△ODE，
∴∠OHB=∠C=90°，
∴OH是△ABC的中位線，
∴DE=BH=BC，
∴BC=2DE；
方法二：先設(shè)DE交⊙O于點(diǎn)G，==，BC=DG=2DE．

（2）方法一：∵由（1）可知OH為△ABC的中位線，
∴OH=AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，
∴BH==4，
∴DE=4，
∴tan∠CBD===．
方法二：連接AD，DE²=AE•BE，設(shè)AE=x＞5，DE²=x•（10-x），
∵DE=BC=4，
∴4²=x•（10-x），解得x=8或x=2（舍去），
∴tan∠CBD=tan∠DAE===．
分析：（1）連接OD交BC于點(diǎn)H，由全等三角形的判定定理得出△OBH≌△ODE，故∠OHB=∠C=90°，OH是△ABC的中位線，由中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知OH為△ABC的中位線，故OH=AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，由勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形中位線的定理及銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意作出輔助線．構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．