Question

已知：k，m為實(shí)數(shù)，且k＜-1，關(guān)于x的方程x²+（2k+m）x+（k²+km）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．拋物線y=2x²-（6m+4）x+2k+2與直線y=kx的交點(diǎn)分別為A點(diǎn)，B點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．
（1）求m的值；
（2）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若S_△ABD=2S_△ABC，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵關(guān)于x的方程x²+（2k+m）x+（k²+km）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（2k+m）²-4（k²+km）=m²=0．
∴m=0．

（2）當(dāng)m=0時(shí)，拋物線的解析式為y=2x²-4x+2k+2．
它的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（1，2k）．

（3）∵k＜-1，
∴2k+2＜0，點(diǎn)C（0，2k+2）在y軸的負(fù)半軸上．
設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線AB的交點(diǎn)為E點(diǎn)，
則E點(diǎn)的坐標(biāo)為E（1，k）．
作CG⊥AB于G點(diǎn)，DH⊥AB于H點(diǎn)．（如圖）
∵S_△ABD=2S_△ABC，
∴DH=2CG．
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與y軸平行，
∴∠COG=∠DEH．
∴sin∠COG=sin∠DEH．
可得 DE=2CO．
∴-k=-2（2k+2）．
解得 k=-．
分析：（1）一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式等于0，據(jù)此求解．
（2）將（1）得到的m值代入拋物線的解析式中，進(jìn)行配方后能得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）首先畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，若S_△ABD=2S_△ABC，那么對(duì)于兩個(gè)同底不等高的三角形來(lái)說(shuō)，它們的高的比等于1：2，過(guò)C、D作直線AB的垂線，通過(guò)構(gòu)建相似三角形求出DE的長(zhǎng)，由此求得k的值．
點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、根與系數(shù)的關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)；難點(diǎn)在于（3）題，將三角形的面積比轉(zhuǎn)化高的比是打開(kāi)思路的關(guān)鍵．