Question

如圖，△ABC和△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點P、M、N分別為DE、BE、AD的中點．求證：MN=

2

MP．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：連接CP，NP，易證CN=EM，易證CP=EP=PD，∠E=∠D=∠PCD=45°，即可證明△EPM≌△PCN，可得PM=PN，∠EPM=∠CPN，根據(jù)∠EPM+∠MPC=90°，可證明∠MPN=90°，即可解題．

解答：證明：連接CP，NP，

設AC=BC=a，EM=BM=b，則CE=2b+a=CD，AD=2b+2a，
∵N為AD中點，∴AN=a+b，
∵AC=a，∴CN=EM=a，
∵CP為等腰直角三角形ECD的中線，
∴CP=EP=PD，∠E=∠D=∠PCD=45°，
在△EPM和△PCN中，

PE=PC ∠PCN=∠PEM EM=CN

，
∴△EPM≌△PCN，（SAS）
∴PM=PN，∠EPM=∠CPN，
∵∠EPM+∠MPC=90°，
∴∠CPN+∠MPC=90°，即∠MPN=90°，
∴MN²=MP²+NP²，
∴MN=

2

MP．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△EPM≌△PCN是解題的關鍵．