Question

已知，拋物線y=-x²+bx+c，當1＜x＜5時，y值為正；當x＜1或x＞5時，y值為負．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若直線y=kx+b（k≠0）與拋物線交于點A（，m）和B（4，n），求直線的解析式．
（3）設(shè)平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F，交二次函數(shù)于H、G．
①求t的取值范圍
②是否存在適當?shù)膖值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交點為（1，0）和（5，0），
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x-5；

（2）∵y=-x²+6x-5的圖象過A（，m）和B（4，n）兩點，
∴m=，n=3，∴A（，）和B（4，3），
∵直線y=kx+b（k≠0）過A（，）和B（4，3）兩點
∴，
解得．
∴直線的解析式為y=x+1；

（3）①根據(jù)題意，
解得≤t≤2，
②根據(jù)題意E（t，t+1），F(xiàn)（t+2，t+2）
H（t，-t²+6t-5），G（t+2，-t²+2t+3），
∴EH=-t²+t-6，F(xiàn)G═-t²+t+1，
若EFGH是平行四邊形，則EH=FG，即-t²+t-6=-t²+t+1，
解得：t=，
∵t=滿足≤t≤2．
∴存在適當?shù)膖值，且t=使得EFGH是平行四邊形．
分析：（1）將（1，0）和（5，0）代入函數(shù)關(guān)系式，求出b，c的值即可；
（2）圖象過A（，m）和B（4，n）兩點代入（1）中所求求出A，B的坐標即可，進而求出直線的解析式；
（3）①根據(jù)t＞，t+2＜4進而求出t的取值范圍即可；
②首先表示出E，F(xiàn)，G，H各點的坐標，進而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出t的值即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)點的坐標性質(zhì)得出E，F(xiàn)，G，H點的坐標進而利用平行四邊形對邊相等得出是解題關(guān)鍵．