Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c(a＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(12,0)和C(0，-6），對(duì)稱軸為x=2.

(1)求該拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)在（2）的結(jié)論下，直線x=1上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1) y=x²－x－6(2) (3)見解析

試題分析：（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，根據(jù)對(duì)稱軸解析式列出關(guān)于a、b、c的方程組，求解即可；（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式求出AC的長(zhǎng)，然后求出OD，可得點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸上，根據(jù)線段垂直平分線上的性質(zhì)可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PDC=∠ACD，從而得到∠QDC=∠ACD，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得PQ∥AC，再根據(jù)點(diǎn)D在對(duì)稱軸上判斷出DQ是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，根據(jù)勾股定理求出BC，然后求出CQ，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，計(jì)算即可求出點(diǎn)Q的速度．（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，使得△MPQ為等腰三角形，那么就需要要分類討論：①當(dāng)MP=MQ，即M為頂點(diǎn)；②；當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)；③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn).進(jìn)行分類求解即可.
試題解析：解：方法一：∵拋物線過C(0,-6)
∴c=－6, 即y=ax²+bx－6
由 ，解得：a= ,b=－
∴該拋物線的解析式為y=x²－x－6；
方法二：∵A、B關(guān)于x=2對(duì)稱
∴A（－8，0），設(shè)y=a(x＋8)(x－12) 
C在拋物線上，∴－6=a×8×(－12) 即a=
∴該拋物線的解析式為：y=x²－x－6.
（2）存在，設(shè)直線CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中，AC==10=AD
∴點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，連結(jié)DQ 顯然∠PDC=∠QDC，
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC，
DB=AB－AD=20-10=10
∴DQ為△ABC的中位線，∴DQ=AC=5.
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒) 
∴存在t=5(秒)時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分,
在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒單位長(zhǎng)度.
（3）存在 過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，則QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ==3.
①當(dāng)MP=MQ，即M為頂點(diǎn)，
設(shè)直線CD的直線方程為：y=kx+b(k≠0),則：
  ,解得：.
∴y=3x-6
當(dāng)x=1時(shí)，y=－3 , ∴M₁(1, －3).
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn).
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M(1,y) ,由勾股定理得：
4²+y²=90  即y=±
∴M₂（1，）   M₃（1，－）.
③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn).
過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于E，交直線x=1于F，則F(1, －3)
設(shè)直線x=1存在點(diǎn)M(1,y), 由勾股定理得：
(y＋3)²+5²=90 即y=－3±
∴M₄(1, －3＋)   M₅((1, －3－) .
綜上所述：存在這樣的五點(diǎn)：
M₁(1, －3),  M₂（1，）,  M₃（1，－）,  M₄(1, －3＋),
M₅((1, －3－)