【題目】如圖所示,是的外接圓,為直徑,的平分線交O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作,分別交,的延長線于點(diǎn)E,F.
(1)求證:是的切線;
(2)填空:
①當(dāng)的度數(shù)為_________時(shí),四邊形為菱形;
②若的半徑為,,則的長為_________.
【答案】(1)見解析;(2)①60°;②4
【解析】
(1)連接OD,證OD∥AE,從而得出OD⊥EF,從而證切線;
(2)①當(dāng)∠BAC=60°時(shí),可得到AC=OD,又根據(jù)AC∥OD,可得四邊形ACDO是平行四邊形,根據(jù)AO=OD,可得平行四邊形ACDO是菱形;
②如下圖,設(shè)CE=x,則AC=3x,先證△OGB∽△ACB,得出OG=,再利用OG+CE=OD推導(dǎo)得出x的值,最后在Rt△OGB中,求得GB的長,進(jìn)而得出CB的長.
(1)如下圖,連接OD
∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA
∵AD是∠EAB的角平分線,∴∠EAD=∠DAO
∴∠ADO=∠EAD
∴AE∥OD
∵AE⊥EF
∴OD⊥EF
∴是的切線;
(2)①當(dāng)∠BAC=60°時(shí),四邊形ACDO是菱形
如下圖,連接CD
∵AB是的直徑,∴∠ACB=90°
∵∠CAB=60°
∴∠ABC=30°
∴在Rt△ABC中,AC=,即AC=AO=OB
∵AO=OD
∴AC=OD
∵AC∥OD,∴四邊形ACDO是平行四邊形
∵AO=OD
∴平行四邊形ACDO是菱形;
②如下圖,OD與AB交于點(diǎn)G
設(shè)CE=x,則AC=3x
∵OD∥AE,∠ACB=90°
∴∠OGB=∠ACB=90°
∴根據(jù)垂徑定理,CG=GB
∵∠OBG=∠ABC
∴△OBG∽△ABC
∴,∴OG=
∵OD=OG+GD=OG+CE,∴OD==
∴x=1
∴在Rt△OGB中,OB=,OG=,則GB=2
∴CG=2,CB=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邊長為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DE,交AC于點(diǎn)N,過點(diǎn)D作DF⊥DE,交BA的延長線于點(diǎn)F,連接EF,交AC于點(diǎn)M.
(1)判定△DFE的形狀,并說明理由;
(2)設(shè)CE=x,△AMF的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;并求出當(dāng)x為何值時(shí)y有最大值?最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,已知A(–1,0),且直線BC的解析式為y=x-2,作垂直于x軸的直線,與拋物線交于點(diǎn)F,與線段BC交于點(diǎn)E(不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若△CEF是以CE為腰的等腰三角形,求m的值;
(3)點(diǎn)P為y軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作交直線BC于點(diǎn)M,連接PB,若以P、M、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的解析式為,(與軸交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),與軸交于點(diǎn),項(xiàng)點(diǎn)為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若將拋物線沿著直線的方向平移得到拋物線;
①當(dāng)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求拋物線的解析式;
②點(diǎn)是①中拋物線上一點(diǎn),若且為整數(shù),求滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過點(diǎn)B,C,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求四邊形面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若M是拋物線上一點(diǎn),且,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)垃圾分類處理,改善生態(tài)環(huán)境的號召,某小區(qū)將生活垃圾分成四類:廚余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾,分別記為a、b、c、并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱:“廚余垃圾”箱,“可回收垃圾”箱,“不可回收垃圾”箱,“有害垃圾”箱,分別記為A,B,C,D.
如果將一袋有害垃圾任意投放進(jìn)垃圾箱,則投放正確的概率是________.
小明將家里的廚余垃圾、可回收垃圾分裝在兩個(gè)袋中,任意投放在其中兩個(gè)垃圾箱中,用畫樹狀圖或列表的方法求這兩袋垃圾都投放正確的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,l是經(jīng)過A(2,0),B(0,b)兩點(diǎn)的直線,且b0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí),過點(diǎn)C作CD⊥l交于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D,O之間的距離;
(2)當(dāng)tan∠CDO=時(shí),求直線l的解析式;
(3)在(2)的條件下,直接寫出△ACD與△AOB重疊部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2―mx―n的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)B的坐標(biāo)是.
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)是,點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖像上的動(dòng)點(diǎn),連接CD、CF,以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF.設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S.
①求S的最大值;
②在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖像上時(shí),請求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
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