Question

如圖，AC是?ABCD較長(zhǎng)的對(duì)角線，過(guò)C作CF⊥AF，CE⊥AE．求證：AB•AE+AD•AF=AC²．

Answer 1

證明：作BM⊥AC于點(diǎn)M，
則∠AMB=∠AEC=90°，
∵∠BAM=∠CAE，
∴△ABM∽△ACE，
∴AB•AE=AM•AC，
∵∠BCM=∠CAF，
易得△BCM∽△CAF，
∴BC•AF=CM•AC，
∴AB•AE+BC•AF=AM•AC+CM•AC=AC（AM+CM）=AC²．
∵AD=BC，
∴AB•AE+AD•AF=AC²．
分析：作BM⊥AC于點(diǎn)M，可證△ABM∽△ACE，則AB•AE=AM•AC，易得△BCM∽△CAF，則BC•AF=CM•AC，故得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．