Question

關于x的方程4kx²+4（k+2）x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于x的方程4kx²+4（k+2）x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，由此可以得到判別式是正數(shù)，這樣就可以得到關于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合條件的實數(shù)k．設方程4kx²+4（k+2）x+k=0的兩根分別為x₁、x₂，由根與系數(shù)關系有：x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定結果．

解答：解：（1）由△=[4（k+2）]²-4×4k•k＞0，
∴k＞-1
又∵4k≠0，
∴k的取值范圍是k＞-1，且k≠0；

（2）不存在符合條件的實數(shù)k
理由：設方程4kx²+4（k+2）x+k=0的兩根分別為x₁、x₂，
由根與系數(shù)關系有：
x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

4(k+2)

k

=0，
∴k=-2，
由（1）知，k=-2時，△＜0，原方程無實解，
∴不存在符合條件的k的值．

點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關系，解題時將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．