Question

（2005•杭州）如圖，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半；
（2）在第（1）問的前提下，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，分別過C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，在Rt△BCG中，已知BC，∠B的值，可求出CG的值，代入S_△ABC進(jìn)行求解，根據(jù)AP和CQ的值，可將BP，BQ的值表示出來，在Rt△BQH中，根據(jù)三角函數(shù)可將QH的值求出，代入S_△PBQ=BP•QH，再根據(jù)S_△PBQ與S_△ABC的關(guān)系，從而可求出時(shí)間t；
（2）當(dāng)t=2時(shí)，可將BP，BQ的值求出，在Rt△BHQ中，根據(jù)三角函數(shù)可將BH，HQ的值求出，進(jìn)而可將PH的值求出，在Rt△PQH中，根據(jù)勾股定理可求出PQ的值，當(dāng)t=12時(shí)，同理可將PQ的值求出．
解答：解：（1）分別過C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H，
∵BC=16，∠B=60°，
∴CG=BC•sin60°=，
又∵AB=24，
∴S_△ABC=AB•CG=96，
又∵AP=4t，CQ=2t，
∴BP=24-4t，BQ=16-2t（0＜t＜8），
∴QH=BQ•sin60°=（8-t），
∴S_△PBQ=BP•QH=×（24-4t）×（8-t），
又∵S_△PBQ=S_△ABC，
∴×（24-4t）×（8-t）=×96，
∴t²-14t+24=0，
∴t₁=2，t₂=12（舍去），
∴當(dāng)t為2秒時(shí)，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半．

（2）當(dāng)t=2時(shí)，HQ=6，BQ=12，BP=16，
∴BH=BQ=6，PH=16-6=10，
又∵在Rt△PQH中，PQ²=HQ²+PH²，
∴PQ=．
點(diǎn)評：考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)，進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力，在求P、Q兩點(diǎn)之間的距離時(shí)應(yīng)分兩種情況討論．