Question

如圖，△ABC內接于⊙O，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于點D，AB²=AP·AD．

（1）求證：AB=AC；

（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為弧AC的中點，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：連接BP．

∵AB²=AP·AD，

∴

又∵∠BAD=∠PAB，

∴△ABD∽△APB

∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB．

∴AB=AC．

（2）解：由（1）知AB=AC．

∵∠ABC=60°

∴△ABC為等邊三角形．

∴∠BAC=60°

∵P為弧AC的中點

∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°

∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°

∴BP為直徑．

∴BP=2．

∴AP=BP=1．

∴AB²=BP²一AP²=3．

∵AB²=AP·AD

∴．