Question

（2013•太原）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點，點E是AC的中點．
（1）實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．
①作∠DAC的平分線AM． ②連接BE并延長交AM于點F．
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)證明∠C=∠FAC，進而可得AF∥BC；然后再證明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）AF∥BC，且AF=BC，
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，
由作圖可得∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC，
∵E為AC中點，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中

∠FAE=∠C AE=CE ∠AEF=∠BEC

，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
∴AF=BC．

點評：此題主要考查了作圖，以及平行線的判定，全等三角形的判定，關鍵是證明∠C=∠FAC．