Question

如圖，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，過點C作CD⊥AC交AB于點D．

(1)尺規(guī)作圖：過A，D，C三點作⊙O(只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法)；

(2)求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線；

(3)若過A，D，C三點的圓的半徑為，則線段BC上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與△BCO相似．若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作出圓心O　　1分 　　以點O為圓心，OA長為半徑作圓　　1分 　　(2)證明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°． 　　∴AD是⊙O的直徑　　1分 　　連結(jié)OC，∵∠A＝∠B＝30°， 　　∴∠ACB＝120°，又∵OA＝OC， 　　∴∠ACO＝∠A＝30°，　　1分 　　∴∠BCO＝∠ACB－∠ACO＝120°－30°＝90°　　1分 　　∴BC⊥OC， 　　∴BC是⊙O的切線　　1分 　　(3)存在　　1分 　　∵∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°－90°＝30°， 　　∴∠BCD＝∠B，即DB＝DC． 　　又∵在Rt△ACD中，DC＝AD，∴BD＝　　1分 　　解法一：①過點D作DP1∥OC，則△P1DB∽△COB，， 　　∵BO＝BD＋OD＝， 　　∴P1D＝×OC＝×＝　　1分 　�、谶^點D作DP2⊥AB，則△BDP2∽△BCO，∴， 　　∵BC＝ 　　∴　　1分 　　解法二：①當△BP1D∽△BCO時，∠DP1B＝∠OCB＝90°． 　　在Rt△BP1D中， 　　DP1＝　　1分 　�、诋敗�BDP2∽△BCO時，∠P2DB＝∠OCB＝90° 　　在Rt△BP2D中， 　　DP2＝　　1分