Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB：y=

1

2

x+1分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A畫AC⊥AB，且AC=AB，連接BC得△ABC，將△ABC沿x軸正方向平移后得△A′B′C′．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是

（0，1）

，點(diǎn)C的坐標(biāo)是

（-3，2）

（2）平移后當(dāng)頂點(diǎn)C′正好落在直線AB上，求平移的距離和點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將△A′B′C′從（2）的位置開始繼續(xù)向右平移，連接OB′、OC′，問當(dāng)點(diǎn)B′在何位置時(shí)，△OB′C′的面積是△ABC面積的

12

5

倍？請(qǐng)你求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AB解析式可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，求出AE、CE即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）平移后點(diǎn)C的縱坐標(biāo)不變，將點(diǎn)C縱坐標(biāo)代入，可求出橫坐標(biāo)，然后可確定平移距離，繼而得出點(diǎn)B'的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)（1）所求的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（m，1），點(diǎn)C'坐標(biāo)（m-3，2），根據(jù)S_△OB'C'=S_梯形BMNC'+S_△OC'N-S_△OB'M=

12

5

×S_△ABC，可得出關(guān)于m的方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）∵直線AB解析式為：y=

1

2

x+1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
則AC=AB=

OB2+OA2

=

5

，
∵∠ACE=∠BAO（同角的余角相等，都是∠CAE的余角），
∴sin∠ACE=sin∠BAO=

BO

AB

=

5

5

，
∴AE=1，CE=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，2）．
（2）∵點(diǎn)C在直線y=

1

2

x+1上，點(diǎn)C'的縱坐標(biāo)為2，
∴

1

2

x+1=2，
解得：x=2，即可得點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（2，2），
則平移距離=2-（-3）=5，點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（5，1）．
（3）過點(diǎn)B'作B'M⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C'作C'N⊥x軸于點(diǎn)N，
S_△ABC=

1

2

AC×AB=

5

2

，
設(shè)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（m，1），點(diǎn)C'坐標(biāo)（m-3，2），
S_△OB'C'=S_{梯形B′MNC}'+S_△OC'N-S_△OB'M=

1

2

×（1+2）×3+

1

2

（m-3）×2-

1

2

m×1=

1

2

m+

3

2

，
∵△OB′C′的面積是△ABC面積的

12

5

倍
∴

1

2

m+

3

2

=

12

5

×

5

2

，
解得：m=9，
故可得點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（9，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，注意學(xué)會(huì)點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)化，要求能根據(jù)直線解析式確定點(diǎn)的坐標(biāo)，在第三問的求解中，關(guān)鍵是利用差值法表示出△OB'C'的面積，此題難度較大，注意一步一步的分析．