Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，射線PD交射線BC于點(diǎn)E．
（1）如圖2，若點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，設(shè)AP=x，CE=y，
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
②當(dāng)以BE為直徑的圓和⊙P外切時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（2）設(shè)線段BE的中點(diǎn)為Q，射線PQ與⊙P相交于點(diǎn)I，若CI=AP，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）①如圖2∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠PAD=∠CDE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ABC=∠DEC，．
∴PB=PE．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴PB=PE=5-x，DE=PE-PD=5-x-x=5-2x，
∴，
∴y=-x+3（0＜x＜）；
②設(shè)BE的中點(diǎn)為Q，連結(jié)PQ，如圖2，
∵PB=PE，
∴PQ⊥BE，
又∵∠ACB=90°，
∴PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴，即==，
∴PQ=-x+4，BQ=-x+3，
當(dāng)以BE為直徑的圓和⊙P外切時(shí)，-x+4=x+（-x+3），解得x=，即AP的長(zhǎng)為；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，
由（1）②的結(jié)論可得IQ=PQ-PI=-x+4-x=-x+4，
CQ=BC-BQ=3-（-x+3）=x，
在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（-x+4）²=x²-x+16，
∵CI=AP，
∴x²-x+16=x²，
解得x₁=，x₂=4（不合題意，舍去），
∴AP的長(zhǎng)為；
當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，IQ=PI-PQ=x-（-x+4）=x-4，
CQ=BC-BQ=3-（-x+3）=x，
在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（x-4）²=x²-x+16，
∵CI=AP，
∴x²-x+16=x²，
解得x₁=（舍去），x₂=4，
∴AP的長(zhǎng)為4，
綜上所述，AP的長(zhǎng)為或4．
分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由對(duì)頂角相等得∠PDA=∠CDE，則∠PAD=∠CDE，根據(jù)三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，則∠ABC=∠DEC，，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=5，則PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)BE的中點(diǎn)為Q，連結(jié)PQ，由于PB=PE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，則△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-x+4（圓心距），BQ=-x+3（⊙Q的半徑），根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)得到-x+4=x+（-x+3），然后解方程即可；
（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，利用（1）②的結(jié)論可得IQ=PQ-PI=-x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根據(jù)勾股定理得CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（-x+4）²=x²-x+16，再由CI=AP得到x²-x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于0＜x＜，由此得到AP的長(zhǎng)為；
同理當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=x²-x+16，利用CI=AP得到x²-x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于＜x＜5，則AP的長(zhǎng)為4，由此得到AP的長(zhǎng)為或4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握兩圓相切的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；能運(yùn)用分類討論的思想解決問題．