(2009•樂山)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向上的拋物線與x軸交于A、B兩點,D為拋物線的頂點,O為坐標(biāo)原點.若OA、OB(OA<OB)的長分別是方程x2-4x+3=0的兩根,且∠DAB=45°.
(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式;
(2)過點A作AC⊥AD交拋物線于點C,求點C的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,過點A任作直線l交線段CD于點P,若點C、D到直線l的距離分別記為d1、d2,試求的d1+d2的最大值.

【答案】分析:(1)通過解方程即可求得OA、OB的長,從而得到點A、B的坐標(biāo),由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,且∠DAB=45°,那么△DAB是等腰直角三角形,即可利用點A、B的坐標(biāo)求得點D的坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式;
(2)由于AC⊥AD,且∠DAB=45°,則∠CAB=45°,設(shè)出點C的橫坐標(biāo),那么其縱坐標(biāo)應(yīng)為m+1,然后將C點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求得點C的坐標(biāo);
(3)易得AC、AD的長,由于△ACD是直角三角形,那么AC•AD=AP•d1+AP•d2,由此可得d1+d2=,過A作AM⊥CD于M,利用△ACD的面積可求得AM的長,在Rt△APM中,AP≥AM,故d1+d2,而AC、AD、AM的長都已求得,由此可確定d1+d2的最大值.
解答:解:(1)解方程x2-4x+3=0得:
x=1或x=3,而OA<OB,
則點A的坐標(biāo)為(-1,0),點B的坐標(biāo)為(3,0);(1分)
∵A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱,
∴△DAB是等腰三角形,而∠DAB=45°,
∴△DAB是等腰直角三角形,得D(1,-2);
令拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2-2,
∵拋物線過點A(-1,0),
∴0=4a-2,得a=,
故拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=(x-1)2-2(或?qū)懗蓎=x2-x-);(4分)

(2)∵CA⊥AD,∠DAC=90°,(5分)
又∵∠DAB=45°,
∴∠CAB=45°;
令點C的坐標(biāo)為(m,n),則有m+1=n,(6分)
∵點C在拋物線上,
∴n=(m-1)2-2;(7分)
化簡得m2-4m-5=0
解得m=5,m=-1(舍去),
故點C的坐標(biāo)為(5,6);(8分)

(3)由(2)知AC=6,而AD=2,
∴DC=
過A作AM⊥CD,
又∵
∴AM=,(9分)
又∵S△ADC=S△APD+S△APC
,(11分)
d1+d2=;
即此時d1+d2的最大值為4.(12分)
點評:此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法、三角形面積的計算方法以及不等式的應(yīng)用等重要知識,涉及知識面廣,難度較大.
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