Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E.  
（1）記的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形，DE=，試探究四邊形與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由題意得B（3，1）．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b＝；
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b＝；
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，1）時(shí)，則b＝1。
①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1＜b≤，如圖1

此時(shí)E（2b，0）
∴S＝OE×CO＝×2b×1＝b
②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即＜b＜，如圖2

此時(shí)E（3，），D（2b－2，1）
∴S＝
＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]
＝
∴
（2）如圖3，設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，則矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。

由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，
∴∠MED＝∠MDE，
∴MD＝ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，
由題易知，DE=，DH＝1，∴HE＝2，設(shè)菱形DNEM 的邊長(zhǎng)為a，
則在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴
∴＝NE·DH＝
∴矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．