Question

如圖，以AC為直徑的⊙D與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（1，0），BC=．設(shè)直線AC與直線x=2交于點(diǎn)E．
（1）求以直線x=2為對(duì)稱軸，且過C與原點(diǎn)O的拋物線的函數(shù)解析式，并判斷此拋物線是否過點(diǎn)E，說明理由；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動(dòng)點(diǎn)，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AC為⊙D的直徑，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得點(diǎn)C（1，），
設(shè)拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，
將（0，0）、（1，）得：，
解得：，
故拋物線的解析式為：，
設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)F，則CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴，即，
∴EF=，
∴E（2，），
當(dāng)x=2時(shí)，，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)E．

（2）拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)N（4，0），設(shè)M（x，y），
過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，
S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN
=（y+）（x-1）+y（4-x）-×3×
=
=
=
=-（x-）²+（1≤x≤4），
當(dāng)x=時(shí)，S_△CMN的最大值是．
分析：（1）首先判斷BC⊥AB，然后求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=2，可設(shè)拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，將（0，0）及點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得出a、k的值，繼而得出拋物線解析式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)后，代入即可判斷此拋物線是否過點(diǎn)E．
（2）根據(jù)題意畫出圖形，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)N（4，0），設(shè)M（x，y），過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，則根據(jù)S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN，可得△CMN的面積關(guān)于x、y的表達(dá)式，將，代入可得△CMN的面積關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是作出圖形，得出面積關(guān)于x的表達(dá)式，要求同學(xué)們熟練配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用．