Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AB=4，D是⊙O上的一點(diǎn)，∠ABD=30°，OF∥AD交BD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求DE的長(zhǎng)度；
（2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
又∠ABD=30°，AB=4，
∴BD=AB•cos∠ABD=4×=2；
∵OF∥AD，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABD的中位線，
∴點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，
∴DE=BD=；

（2）由（1）知，∠ADB=90°．
∵∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°（三角形內(nèi)角和定理）；
又∵OF∥AD，
∴∠EOB=∠DAB=60°（兩直線平行，同位角相等）；
∵OB=AB=2，
∴S_扇形OBF==π；
由（1）知，DE=BD，
∴BE=BD=，
∴S_△OBE=OB•BEsin∠EBO=×2××=，
∴S_陰影=S_扇形OBF-S_△OBE=π-．
分析：（1）利用圓周角定理、余弦三角函數(shù)的定義求得BD=2；然后由三角形中位線的定義證得點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，即DE=BD=；
（2）陰影部分的面積=扇形OFB的面積-△OBE的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)．解答該題也可以根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂徑定理解題．