在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),等邊三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),另一個(gè)頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi).
(1)求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)如果一個(gè)四邊形是以它的一條對(duì)角線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形,那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”.點(diǎn)Q在(1)的拋物線上,且以O(shè)、A、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是“箏形”,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)△OAB的外接圓⊙M,試判斷(2)中的點(diǎn)Q與⊙M的位置關(guān)系,并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)先求出點(diǎn)B,則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式,將點(diǎn)A代入即得到方程式;
(2)(。┊(dāng)以O(shè)A、OB為邊時(shí),作QD⊥x軸于D,QD=ODtan∠QOD,QD=ODtan∠QOD,從而求得點(diǎn)Q.(ⅱ)當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時(shí),由對(duì)稱性求得Q.(ⅲ)當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時(shí),拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形.求得點(diǎn)Q.
(3)點(diǎn)Q在⊙M內(nèi).由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是(2)中BC與OQ的交點(diǎn),求得△OMC∽△OQD.從而求得點(diǎn)M,進(jìn)而求得MQ,從而求得點(diǎn)Q的位置.
解答:解:(1)過(guò)B作BC⊥x軸于C.
∵等邊三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),
∴OB=OA=2,AC=OC=1,∠BOC=60°.
∴BC=
∴B
設(shè)經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的
解析式為:
將A(2,0)代入得:
解得
∴經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為


(2)依題意分為三種情況:
(。┊(dāng)以O(shè)A、OB為邊時(shí),
∵OA=OB,
∴過(guò)O作OQ⊥AB交拋物線于Q.
則四邊形OAQB是箏形,且∠QOA=30°.
作QD⊥x軸于D,QD=ODtan∠QOD,
設(shè)Q,則
解得:
∴Q
(ⅱ)當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時(shí),由對(duì)稱性可知Q
(ⅲ)當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時(shí),拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形.
∴Q

(3)點(diǎn)Q在⊙M內(nèi).
由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是(2)中BC與OQ的交點(diǎn),
當(dāng)Q時(shí),
∵M(jìn)C∥QD,
∴△OMC∽△OQD.



∴MQ==
,

∴Q在⊙M內(nèi).
當(dāng)Q時(shí),由對(duì)稱性可知點(diǎn)Q在⊙M內(nèi).
綜述,點(diǎn)Q在⊙M內(nèi).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,(1)先求出點(diǎn)B,則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式,將點(diǎn)A代入即得到方程式;(2)(。┊(dāng)以O(shè)A、OB為邊時(shí),作QD⊥x軸于D,QD=ODtan∠QOD,QD=ODtan∠QOD,從而求得點(diǎn)Q.(ⅱ)當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時(shí),由對(duì)稱性求得Q.(ⅲ)當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時(shí),拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形.求得點(diǎn)Q.(3)點(diǎn)Q在⊙M內(nèi).由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是(2)中BC與OQ的交點(diǎn),求得△OMC∽△OQD.從而求得點(diǎn)M,進(jìn)而求得MQ,從而求得點(diǎn)Q的位置.本題有一定難度,思路性強(qiáng).
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
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