Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，若A、B兩點的橫坐標(biāo)分別是一元二次方程x²-2x-3=0的兩個實數(shù)根，與y軸交于點C（0，3），
（1）求拋物線的解析式；
（2）在此拋物線上求點P，使S_△ABP=8．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²-2x-3=0的兩個實數(shù)根為，x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴，
解得，
故此拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（a，b），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵S_△ABP=8，AB•|b|=8，
解得|b|=4，
∵點P在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴當(dāng)b=4時，即-a²+2a+3=4，解得a=1；
當(dāng)b=-4時，即-a²+2a+3=-4，解得a=1+2或a=1-2，
∴P點坐標(biāo)為P₁（1，4），P₂（1+2，-4），P₃（1-2，-4）．
分析：（1）先求出一元二次方程x²-2x-3=0的兩個實數(shù)根即可得出A、B兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線與y軸交于點C（0，3），可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）先求出AB的長，再根據(jù)S_△ABP=8可求出P點的縱坐標(biāo)，再根據(jù)P點在拋物線上即可得出其橫坐標(biāo)，故可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點及用到定系數(shù)法求拋物線的解析式，根據(jù)題意求出A、B兩點的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．