Question

等邊△ABC中，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，連接D、E．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）小成同學(xué)說(shuō)：BD=DE，她說(shuō)的對(duì)嗎？請(qǐng)你說(shuō)明道理．
（3）把“BD平分∠ABC”改成什么條件，也能得到同樣的結(jié)論？

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到三邊長(zhǎng)相等，三內(nèi)角為60°，再由BD為角平分線，得到∠CBD為30°，而∠ACB為三角形CDE的外角，且CE=CD，利用外角性質(zhì)及等邊對(duì)等角得到∠E為30°；
（2）小成同學(xué)的說(shuō)法正確，理由為：由（1）得出∠CBD=∠E=30°，利用等角對(duì)等邊得到BD=DE；
（3）把“BD平分∠ABC”改成BD⊥AC或BD為AC邊上的中線，也能得到同樣的結(jié)論，理由為：由AB=BC，BD⊥AC或BD為AC邊上的中線，利用三線合一得到BD平分∠ABC，同理即可得到同樣的結(jié)論．

解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DC=EC，
∴∠DCE=∠E，
∵∠ACB為△DCE的外角，
∴∠ACB=∠DCE+∠E=2∠E，
則∠E=

1

2

∠ACB=30°；
（2）小成同學(xué)的說(shuō)法正確，理由為：
證明：∵∠CBD=∠E=30°，
∴DB=DE；
（3）把“BD平分∠ABC”改成BD⊥AC或BD為AC邊上的中線，也能得到同樣的結(jié)論，
理由為：由AB=BC，BD⊥AC或BD為AC邊上的中線，
利用三線合一得到BD平分∠ABC，同（1）（2）得到∠E=30°；DB=DE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．