Question

（2005•梅州）已知，如圖（甲），正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P不運(yùn)動(dòng)到M和C，以AB為直徑做⊙O，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)交AD于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．
（1）求四邊形CDFP的周長(zhǎng)；
（2）試探索P在線(xiàn)段MC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AF•BP的值；
（3）延長(zhǎng)DC、FP相交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)交直線(xiàn)DC于H（如圖乙），是否存在點(diǎn)P，使△EFO∽△EHG？如果存在，試求此時(shí)的BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，將所求四邊形CDFP的邊轉(zhuǎn)化為已知正方形ABCD的邊，即可求得；
（2）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，將所求AF，BP轉(zhuǎn)化為直角△FOP的斜邊FP，再由直角三角形的性質(zhì)OE²=EF•EP，即可求得；
（3）要△EFO∽△EHG，必須∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴AF、BP都是⊙O的切線(xiàn)
又∵PF是⊙O的切線(xiàn)
∴FE=FA，PE=PB
∴四邊形CDFP的周長(zhǎng)為AD+DC+CB=2×3=6；

（2）連接OE，
∵PF是⊙O的切線(xiàn)
∴OE⊥PF
在Rt△AOF和Rt△EOF中
∵AO=EO，OF=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EOF
∴∠AOF=∠EOF
同理∠BOP=∠EOP
∴∠EOF+∠EOP=180°=90°，∠FOP=90°
即OF⊥OP
∴AF•BP=EF•PE=OE²=1；

（3）存在．
當(dāng)∠G=30°時(shí)．∠GFD=60°．
∵∠EOF=∠AOF
∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF
∴當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF，即∠EOF=30°時(shí)，Rt△EFO∽R(shí)t△EHG
此時(shí)∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°
∴BP=OB•tan60°=．
點(diǎn)評(píng)：此題將正方形與圓結(jié)合，考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的判定，運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．并多次運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)．