Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形

(1) 如圖1，點E在線段AB上，點D在射線CB上，且ED＝EC，將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，連接EF，猜想線段AB、DB、AF之間的數(shù)量關(guān)系

(2) 點E在線段BA的延長線上，其他條件與(1)中的一致，請在圖2上將圖形補充完整，并猜想證明線段AB、DB、AF之間的數(shù)量關(guān)系

Answer 1

【答案】（1）猜想：AB=AF+BD；（2）AB=AF-BD；

【解析】

(1) 猜想：AB=AF+BD ;(2) 首先根據(jù)點E在線段BA的延長線上，在圖2的基礎(chǔ)上將圖形補充完整，然后判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判斷出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進而判斷出AF=AB+BD即可．

（1）猜想：AB=AF+BD；

(2) 猜想：AB=AF-BD，

如圖,

，

ED=EC=CF，

∵△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=EC，

又∵ED=EC，

∴ED=EF，

∵AB=AC，BC=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

又∵∠CBE=∠CAF，

∴∠CAF=60°，

∴∠EAF=180∠CAF∠BAC=180°60°60°=60°

∴∠DBE=∠EAF；

∵ED=EC，

∴∠ECD=∠EDC，

∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，

又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，

∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，

∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，

∴∠BDE=∠AEF，

在△EDB和△FEA中，

∴△EDB≌△FEA(AAS)

∴BD=AE，EB=AF，

∵BE=AB+AE，

∴AF=AB+BD，

即AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系是：

AB=AF-BD.