Question

拋物線y=a（x+2）²+c與x軸交于A、B兩點，與y軸負半軸交于點C，已知點A（-1，0），OB=OC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線上一個動點，且S_△BCM=S_△ABC，求點M的坐標；
（3）Q為直線y=-x-4上一點，在此拋物線的對稱軸是否存在一點P，使得∠APB=2∠AQB，且這樣的Q點有且只有一個？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由拋物線y=a（x+2）²+c可知，其對稱軸為x=-2，
∵點A坐標為（-1，0），
∴點B坐標為（-3，0），
∵OB=OC，
∴C點坐標為（0，-3）．
將A（-1，0）、C（0，-3）分別代入解析式得，，
解得，，
則函數(shù)解析式為y=-x²-4x-3．

（2）BC：y=-x-3，
∴AM：y=-x-1，

∴M（-2，1），
同理，
∴M（，）或（，），

（3）設P（-2，m），以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切，得，，
故P（-2，）或（-2，）．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式可以得到函數(shù)的對稱軸是x=-2，則B點的坐標可以求得，求得OB的長，則C的坐標可以求得，把A、C的坐標代入函數(shù)解析式即可求得；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后根據(jù)S_△BCM=S_△ABC，即可求得BC邊上的高，則M所在的直線的解析式可以求得，然后解M所在直線的解析式與二次函數(shù)的解析式組成的方程組即可求得M的坐標；
（3）設P（-2，m），以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及直線與圓相切的判定，正確理解切線的判定方法是關(guān)鍵．