(2002•曲靖)已知:如圖,邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O,點D在上運動,但與A、C兩點不重合,連接AD并延長交BC的延長結于P.
(1)求⊙O的半徑;
(2)設AD為x,AP為y,寫出y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍;
(3)D點在運動過程中是否存在這樣的位置,使得△BDP成為以DB、DP為腰的等腰三角形?若存在,請你求出此時AD的值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)過O作OE⊥AB于E,連接OA,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和垂徑定理可以E是AB的中點∠EAO=30°這樣解直角三角形就可以求出半徑了;
(2)連接CD,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以得到∠ADC=∠ACP=120°,還有一個公共角,可以證明△ADC∽△ACP,然后利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出函數(shù)的關系式;
(3)此題是探究性題目,一般假設結論成立,然后利用已知條件進行推理,然后進行判斷.這里假設D點在運動的過程中存在這樣的位置,使得△DBP成為以DB,DP為腰的等腰三角形,然后根據(jù)假設結合已知條件可以得到DB是圓的直徑,這樣可以得到關于x的方程,解方程就可以判斷假設是否成立,然后根據(jù)方程的解就求出此時AD的長.
解答:解:(1)過O作OE⊥AB于E,連接OA
在Rt△AEO中,∠EAO=30°
AE=

∴OA=2

(2)連接CD,則∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°,∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP

∴AC2=AD•AP
∴y==(0<x<2

(3)假設D點在運動的過程中存在這樣的位置,使得△DBP成為以DB,DP為腰的等腰三角形,那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60°,∠CDP=∠ABC=60°
∴∠BDC=∠CDP
∴CD⊥BP
∴DB是圓的直徑,BD=4,DP=4
∵DP=AP-AD=y-x=-x=4
即x2+4x-12=0
∵△=42-4×(-12)=64>0
∴關于x的方程x2+4x-12=0有兩個不相等的實根,說明假設成立
∴x1=2,x2=-6(線段不能為負,舍去)
∴D點在運動的過程中存在這樣的位置:即當AD=2時,△BDP成為以BD,PD為腰的等腰三角形.
點評:此題綜合性比較強,把一元二次方程,等邊三角形,相似三角形,求函數(shù)關系式等知識放在圓的背景中,利用這些知識探究,解題.對學生的要求比較高.
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