Question

如圖，已知∠AOB=60°，半徑為2的⊙M與邊OA、OB相切，若將⊙M水平向左平移，當(dāng)⊙M與邊OA相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E和F，且EF=6，則平移的距離為

1. A.
   2
2. B.
   2或6
3. C.
   4或6
4. D.
   1或5

Answer 1

B
分析：討論：當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M′位置時(shí)，作MC⊥OA于C點(diǎn)，M′H⊥OA于H，MM′Q⊥MC于Q，連結(jié)M′E，根據(jù)切線的性質(zhì)得MM′∥OB，MC=2，再根據(jù)垂徑定理得EH=EF=3，在Rt△EHM′中利用勾股定理計(jì)算出HM′=，則CQ=M′H=，所以MQ=2-=，然后利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得到MM′；
當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M″位置時(shí)，作MC⊥OA于C點(diǎn)，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D點(diǎn)，同理得到MC=2，M′H=，利用平行線的性質(zhì)得∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°，則∠HM″D=30°，∠CMD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得到M″D和MD，則可得到MM″=6．
解答：當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M′位置時(shí)，如圖
作MC⊥OA于C點(diǎn)，M′H⊥OA于H，MM′Q⊥MC于Q，連結(jié)M′E，
∵⊙M與邊OB、OA相切，
∴MM′∥OB，MC=2，
∵M(jìn)′H⊥OA，
∴EH=CH=EF=×6=3，
在Rt△EHM′中，EM′=2，
∴HM′==，
∵M(jìn)′Q⊥MC，
∴四邊形M′QCH為矩形，
∴CQ=M′H=，
∴MQ=2-=，
∵∠QM′M=∠AOB=60°，
∴∠QM′M=30°，
∴M′Q==1，
∴MM′=2；
當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M″位置時(shí)，如圖2，
作MC⊥OA于C點(diǎn)，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D點(diǎn)，
易得MC=2，M′H=，
∵∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°，
∴∠HM″D=30°，∠CMD=30°，
在Rt△HM″D中，M″D=，則DH==1，
∴M″D=2DH=2，
在Rt△CDM中，CM=2，則DC==2，
∴DM=2DC=4，
∴MM″=2+4=6，
綜上所述，當(dāng)⊙M平移的距離為2或6．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．