Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長至點F，使CF=CD．
（1）求∠ABC的度數；
（2）如果BC=8，求△DBF的面積？

Answer 1

解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC
∴∠ABC=∠DCB
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=∠DCB，
即∠ABC=∠DCB=2∠DBC，
∵BD⊥DC，
∴∠DBC+∠DCB=90°
則∠DBC+2∠DBC=90°
∴∠DBC=30°
∴∠ABC=60°

（2）過點D作DH⊥BC，垂足為H，

∵∠DBC=30°，BC=8，
∴DC=4，
∵CF=CD∴CF=4，
∴BF=12，
∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC
∴∠F=30°，
∵∠DBC=30°，
∴∠F=∠DBC，
∴DB=DF，
∴，
在直角三角形DBH中，
∴，
∴，
∴，
即△DBF的面積為．
分析：（1）根據題意可得出∠ABC=∠DCB=2∠DBC，然后利用三角形的內角和定理可得出答案．
（2）過點D作DH⊥BC，垂足為H，根據角度的關系可求出DH的長度，然后利用梯形的性質求出線段BF的長，然后運用三角形的面積公式即可求解．
點評：本題考查了梯形及解直角三角形的知識，屬于綜合題目，解答本題時關鍵還是熟練掌握一些性質的運用．