Question

已知拋物線L：

（1）證明：不論k取何值，拋物線L的頂點(diǎn)C總在拋物線上；

    （2）已知時(shí)，拋物線L和x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，求A、B間距取得最大值時(shí)k的值；

（3）在（2）A、B間距取得最大值條件下（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），直線y=ax+b是經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線L相交于點(diǎn)D的直線. 問是否存在點(diǎn)D，使△ABD為等邊三角形，如果存在，請(qǐng)寫出此時(shí)直線AD的解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

（1）見解析（2）2（3）存在，理由見解析

解析:（1）拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)C是（，）……2分

將頂點(diǎn)坐標(biāo)C代入

左邊=

右邊==  

左邊=右邊

所以無論k取何值，拋物線L的頂點(diǎn)C總在拋物線上. ……3分

（2）已知時(shí)，拋物線L和x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B

設(shè)，，

依題意    ……5分

由此可知，當(dāng)k=-2時(shí)，AB達(dá)到最大值，

而k=-2恰好在內(nèi)，

所以A、B間距取得最大值時(shí)k的值為2   ……8分

(3)存在。        ……9分

因?yàn)槿簟?i>ABD是等邊三角形，則點(diǎn)D應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對(duì)稱軸上。又因?yàn)辄c(diǎn)D在拋物線上，所以若滿足條件的D存在，點(diǎn)D應(yīng)是此拋物線的頂點(diǎn)..

 

當(dāng)k=-2時(shí)，拋物線L為  ，頂點(diǎn)D（-2，-3）

解方程，得，

所以（），（）

如圖，在△ABD中，DB=DA

D為AB中點(diǎn)， AB=，

∴AD=，

∴∠BAD=60°

∴△ABD為等邊三角形    ……12分

因?yàn)橹本�在（）、D（）D，所以依題意

把k=2代入

解得，

所以所求為……14分

（2）方法二：設(shè)，，

由根與系數(shù)關(guān)系，得，  ……6分

[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]

 

由此可知，當(dāng)k=-2時(shí)，AB達(dá)到最大值，

而k=-2恰好在內(nèi)，

所以A、B間距取得最大值時(shí)k的值為2   ……8分

（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求證

（2）設(shè)，，求出AB 的長，從而求出k的值

（3）因?yàn)槿簟?i>ABD是等邊三角形，則點(diǎn)D應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對(duì)稱軸上。又因?yàn)辄c(diǎn)D在拋物線上，所以若滿足條件的D存在，點(diǎn)D應(yīng)是此拋物線的頂點(diǎn)，通過AB的長求出AD的長，通過（）、D（），求出直線AD的解析式