如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3．
（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關系；（不必證明）
（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關系并加以證明；
（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關系，所作三角形應滿足什么條件證明你的結論；
（4）類比（1），（2），（3）的結論，請你總結出一個更具一般意義的結論．
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分析：利用直角△ABC的邊長就可以表示出S1、S2、S3的大小．三角形的邊滿足勾股定理．
解答：解：設直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，則c2=a2+b2
（1）S1=S2+S3；

（2）S1=S2+S3．證明如下：
顯然，S1=
3
4
c2，S2=
3
4
a2，S3=
3
4
b2
∴S2+S3=
3
4
(a2+b2)=
3
4
c2=S1，
即S1=S2+S3．

（3）當所作的三個三角形相似時，S1=S2+S3．證明如下：
∵所作三個三角形相似
∴
S2
S1
=
a2
c2
，
S3
S1
=
b2
c2

∴
S2+S3
S1
=
a2+b2
c2
=1
∴S1=S2+S3；

（4）分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作相似圖形，其面積分別用S1、S2、S3表示，則S1=S2+S3．
點評：本題是對勾股定理進行的證明，難易程度適中．
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相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA 所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點（圓心在x軸上），拋物線y=
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x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1．
（1）求B點坐標；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，
①求△ACQ周長的最小值；
②若FQ=t，S△ACQ=S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，點A、B分別是x軸和y軸上的一動點．
（1）如圖1，若點C的橫坐標為-4，求點B的坐標；
（2）如圖2，BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標為3，A（5，0），求點D的坐標．
（3）如圖3，分別以OB、AB為直角邊在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y軸于M，求 S△BEM：S△ABO．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所對的邊分別記作a、b、c．
（1）如圖1，分別以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，則有S1+S2=S3；
（2）如圖2，分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，請問S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（3）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2、S3，根據(jù)（2）中的探索，直接回答S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關系；
（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出圖4中陰影部分的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源：湖北省中考真題 題型：解答題

如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上），若⊙P過A、B、E三點（圓心在x軸上），拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1。
（1）求B點坐標；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=s，直接寫出s與t之間的函數(shù)關系式。

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科目：初中數(shù)學 來源：2011-2012年湖北省荊州市蘆陵中學九年級第二次質(zhì)檢試題數(shù)學卷 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形?OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上）.若⊙P過A、B、E三點(圓心在x軸上)，拋物線y=14x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1.

【小題1】（1）求B點坐標；
【小題2】（2）求證：ME是⊙P的切線；
【小題3】（3）設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；
②若FQ＝t，S△ACQ＝S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式.

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