Question

如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB、ED．
（1）求證：△BEC≌△DEC；
（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB=150°，正方形的邊長(zhǎng)為a，求：①∠AFE的度數(shù)；
②sin∠BEC的值．

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；

（2）解：①∵△BEC≌△DEC，
∴∠CED=∠CEB，
∵∠DEB=150°，
∴∠CEB=∠DEB=×150°=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBE=180°-45°-75°=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CBE=60°；

②連接BD交AC于O，則AC⊥BD，
∵正方形的邊長(zhǎng)為a，
∴OB=BD=a，
過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，則△CEG是等腰直角三角形，
∴∠CEG=45°，CG=EG，
∠BEG=∠CEB-∠CEG=75°-45°=30°，
設(shè)BG=x，則EG=BG÷tan30°=x÷=x，
CG=a-x，
∴a-x=x，
解得x=a=a，
∴BE=BG=（-1）a，
sin∠BEC====．
分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCE=∠DCE，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）①根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CED=∠CEB，然后求出∠CEB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CBE，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AFE=∠CBE；
②連接BD交AC于O，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分求出OB，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，判斷出△CEG是等腰直角三角形，再求出∠BEG=30°，設(shè)BG=x，然后表示出EG、CG，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CG=EG，然后列出方程求出x的值，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BE，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，（2）難度較大，作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形與含30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．