Question

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點(diǎn)，OM為⊙O₁的切線，切點(diǎn)為M，圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求切線OM的函數(shù)解析式；
（3）線段OM上存在一點(diǎn)P，使得以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形與△OO₁M相似．請(qǐng)問(wèn)有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P并分別求出它們的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心的坐標(biāo)和半徑的長(zhǎng)即可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A，B的坐標(biāo)代入拋物線中即可得出二次函數(shù)的解析式．
（2）可先在直角三角形OO₁M中求出∠MO₁O的度數(shù)，然后過(guò)M作x軸的垂線，設(shè)垂足為F，可在直角三角形MO₁F中根據(jù)∠MO₁O的度數(shù)和MO₁的長(zhǎng)求出MF和O₁F的長(zhǎng)，即可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)M的坐標(biāo)求出直線OM的解析式．
（3）由于P在OM上，因此∠POA=∠MOO₁，因此本題可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)AP∥O₁M時(shí)，②當(dāng)PA⊥OB時(shí)．據(jù)此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（①可參照求M點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)的方法來(lái)解，②可直接將A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入直線OM的解析式中，即可求出P的坐標(biāo)）．

解答：解：（1）∵圓心的坐標(biāo)為O₁（2，0），⊙O₁半徑為1，
∴A（1，0），B（3，0），
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，
∴可得方程組

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，
解得：

b=4 c=-3

，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+4x-3．

（2）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥X軸，垂足為F．
∵OM是⊙O₁的切線，M為切點(diǎn)，
∴O₁M⊥OM（圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑）．
在RT△OO₁M中，sin∠O₁OM=

O1M

OO1

=

1

2

，
∵∠O₁OM為銳角，
∴∠O₁OM=30°，
∴OM=OO₁•cos30°=

3

，
在RT△MOF中，OF=OM•cos30°=

3

2

．
MF=OMsin30°=

3

2

．
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

），
設(shè)切線OM的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），由題意可知

3

2

=

3

2

k，
∴k=

3

3

，
∴切線OM的函數(shù)解析式為y=

3

3

x

（3）兩個(gè)，
①過(guò)點(diǎn)A作AP₁⊥x軸，與OM交于點(diǎn)P₁，
可得Rt△AP₁O∽R(shí)t△MO₁O（兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似），
P₁A=OA•tan∠AOP₁=

3

3

，
∴P₁（1，

3

3

）；
②過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥OM，垂足為，過(guò)P₂點(diǎn)作P₂H⊥OA，垂足為H．
可得Rt△OP₂A∽R(shí)t△O₁MO（兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似），
在Rt△OP₂A中，
∵OA=1，
∴P₂=OA•cos30°=

3

2

，
在Rt△OP₂H中，OH=OP₂•cos∠AOP₂=

3

4

，
P₂H=OP₂•sin∠AOP₂=

3

4

，P₂（

3

4

，

3

4

），
∴符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)有（1，

3

3

），（

3

4

，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的確定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．