Question

如圖，在△ABC中，BC=4，AC=4，∠ACB=90°，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，連接BF，過點(diǎn)C作CE⊥BF于O點(diǎn)，交AB于E點(diǎn)，連接EF．求證：
（1）∠AFE=∠BFC；
（2）EF+EC=BF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）作CD⊥AB，交BF于P點(diǎn)，易證△ACE≌△CBP，可得AE=PC，進(jìn)而可以求證△AEF≌△PCF，即可解題；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得PF=EF，BP=EC，即可解題．

解答：解：（1）作CD⊥AB，交BF于P點(diǎn)，

∵∠CBO+∠OCB=90°，∠OCB+∠ACE=90°，
∴∠CBO=∠ACE，
在△ACE和△CBP中，

∠A=∠PCB=45° AC=CB ∠ACE=∠CBO

，
∴△ACE≌△CBP（ASA），
∴AE=PC，CE=BP，
在△AEF和△PCF中，

AE=OC ∠A=∠PCF=45° AF=CF

，
∴△AEF≌△PCF（SAS），
∴∠AFE=∠BFC，PF=EF，
（2）∵PF=EF，BP=EC，BF=BP+PF，
∴EF+EC=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△PCF是解題的關(guān)鍵．