Question

等腰Rt△ABC中，∠A=90°，點D和E為邊BC上的點，且∠DAE=45°，△ADE的外接圓分別交邊AB和AC于點P和Q，求證：BP+CQ=PQ．

Answer 1

證明：設O是△ADE外心，則O是PQ中點，PQ是直徑．
連接PD、OD、OE，過Q作AC的垂線交BC于點F，連接PE，則四邊形PBFQ是梯形，
∵△ABC中是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠C=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=QF，
∵∠DAC與∠DOE分別是同弧DE所對的圓周角與圓心角，且∠DAE=45°，
∴∠DOE=2∠DAC=90°，
∴∠ODE=45°，
∴OD∥AB（同位角相等，兩直線平行），
∴線段OD是梯形PBFQ的中位線，
∴PQ=2OD=BP+QF，
∴BP+CQ=PQ．
分析：連接OD，過Q作AC的垂線，設交BC于F點，則可以證明四邊形BPQF是梯形，而OD即半徑是中位線．O已經是中點，只要證明OD平行于AB即可，由圓周角定理，兩直線平行的判定定理（內錯角相等，兩直線平行），而OD即半徑是中位線，那么可證得．再就是證明CQ=FQ，不難證明△CQF是等腰直角三角形．
點評：本題考查了三角形的外接圓與外心、等腰直角三角形的性質、梯形中位線的定理．解決本題的關鍵是通過添加輔助線，構造梯形PBFQ，在梯形中建立起B(yǎng)Q、CQ、PQ間的聯(lián)系，利用梯形中位線定理解決．