Question

（12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（-2，0），過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE．

（1）填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為????????? ，點(diǎn)E的坐標(biāo)為?????????? ；

（2）若拋物線y=aa2+ba+c（a≠0）經(jīng)過A，D，E三點(diǎn)，求該拋物線的解析式；

（3）若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運(yùn)動．

① 在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于平移時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；

② 運(yùn)動停止時，請直接寫出此時的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；

（2）；

（3）①S與x的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)0＜t≤時，S=5t2，當(dāng)＜t≤1時，S=5t﹣，當(dāng)1＜t≤時，S=﹣5t2+15t﹣；②運(yùn)動停止時，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

【解析】

試題分析：（1）構(gòu)造全等三角形，由全等三角形對應(yīng)線段之間的相等關(guān)系，求出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）本問非常復(fù)雜，須小心思考與計(jì)算：

①為求s的表達(dá)式，需要識別正方形（與拋物線）的運(yùn)動過程．正方形的平移，從開始到結(jié)束，總共歷時秒，期間可以劃分成三個階段：當(dāng)0＜t≤時，對應(yīng)圖（3）a；當(dāng)＜t≤1時，對應(yīng)圖（3）b；當(dāng)1＜t≤時，對應(yīng)圖（3）c．每個階段的表達(dá)式不同，請對照圖形認(rèn)真思考；

②當(dāng)運(yùn)動停止時，點(diǎn)E到達(dá)y軸，點(diǎn)E（﹣3，2）運(yùn)動到點(diǎn)E′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．由此得到平移之后的拋物線解析式，進(jìn)而求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）由題意可知：OB=2，OC=1．

如圖（1）所示，過D點(diǎn)作DH⊥y軸于H，過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G．

易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；

同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）．

∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；

（2）拋物線經(jīng)過（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2），

則，解得 ，

∴；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到y軸上時，t=．

當(dāng)0＜t≤時，如圖（3）a所示．

設(shè)D′C′交y軸于點(diǎn)F

∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC′

∴tan∠FCC′=2，即=2

∵CC′=t，∴FC′=2t．

∴S△CC′F=CC′•FC′=t×t=5t2

當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，t=1．

當(dāng)＜t≤1時，如圖（3）b所示．

設(shè)D′E′交y軸于點(diǎn)G，過G作GH⊥B′C′于H．

在Rt△BOC中，BC=

∴GH=，∴CH=GH=

∵CC′=t，∴HC′=t﹣，∴GD′=t﹣

∴S梯形CC′D′G=（t﹣+t）=5t﹣

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到y軸上時，t=．

當(dāng)1＜t≤時，如圖（3）c所示

設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N

∵CC′=t，B′C′=，

∴CB′=t﹣，∴B′N=2CB′=t﹣

∵B′E′=，∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t

∴E′M=E′N=（﹣t）

∴S△MNE′=（﹣t）•（﹣t）=5t2﹣15t+

∴S五邊形B′C′D′MN=S正方形B′C′D′E′﹣S△MNE′=﹣（5t2﹣15t+）=﹣5t2+15t﹣

綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：

當(dāng)0＜t≤時，S=5t2，

當(dāng)＜t≤1時，S=5t﹣，

當(dāng)1＜t≤時，S=﹣5t2+15t﹣；

②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)E′時，運(yùn)動停止．如圖（3）d所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

∴

∵OB=2，B′E′=BC=

∴

∴CE′=

∴OE′=OC+CE′=1+=

∴E′（0，）

由點(diǎn)E（﹣3，2）運(yùn)動到點(diǎn)E′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．

∵

∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

∴運(yùn)動停止時，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．